鏡頭執(zhí)行從物體到圖像平面的近似一對(duì)一映射。圖像平面上的這種映射保持在景深范圍內(nèi)（如果物體位于無限遠(yuǎn)處，則稱為焦深）。當(dāng)圖像之間的距離大于景深時(shí)，鏡頭就必須重新對(duì)焦。這種重新對(duì)焦機(jī)制會(huì)增加成像系統(tǒng)的成本、復(fù)雜性和重量。

在這里，我們展示了通過合理設(shè)計(jì)多級(jí)衍射透鏡（MDL），可以將焦深大幅提升4個(gè)數(shù)量級(jí)以上。具體來說，當(dāng)λ=0.85μm的準(zhǔn)直光照射時(shí)，MDL 產(chǎn)生的光束在5mm至1200mm的范圍內(nèi)保持聚焦。測得的聚焦光束半峰全寬(FWHM)從 6.6μm（距離 MDL  5mm）到 524μm（距離 MDL 1200mm）不等。由于側(cè)面被很好地抑制，而主面接近衍射極限，因此可以在整個(gè)焦距范圍內(nèi)以 40°x30° 的水平垂直視場進(jìn)行成像。該演示為透鏡設(shè)計(jì)開辟了一個(gè)新方向，即通過將焦平面上的相位作為自由參數(shù)處理，可以實(shí)現(xiàn)超深焦距成像。

引言

透鏡是一種光學(xué)元件，可將入射準(zhǔn)直光聚焦成焦點(diǎn)。在透鏡法線上測量到的光斑保持緊密聚焦的距離范圍通常稱為焦深（DOF）。焦深（DOF）與焦斑尺寸 W 之間存在直接關(guān)系，其公式為

其中，NA 是鏡頭的數(shù)值孔徑，λ是照明波長。用于成像時(shí)，等效范圍之外的物體圖像會(huì)變得模糊。顯然，有很多理由需要擴(kuò)大這一范圍以增強(qiáng) DOF 成像。這可以通過波前編碼、計(jì)算或兩者的結(jié)合。波前編碼和相關(guān)方法（如對(duì)數(shù)非球面）通常會(huì)在分辨率和 DOF 之間進(jìn)行權(quán)衡，有時(shí)會(huì)犧牲圖像質(zhì)量，這主要是由于側(cè)面的增加。軸心可用于增強(qiáng)  DOF，但圖像分辨率和視場會(huì)受到嚴(yán)重影響。此外，還展示了具有多個(gè)離散焦點(diǎn)的鏡頭。瞳孔平面上的經(jīng)過優(yōu)化的調(diào)焦器以及二元相位優(yōu)化相位掩膜本身或與折射透鏡結(jié)合使用，都可用于增強(qiáng) DOF。在這種情況下，DOF 的增強(qiáng)都相對(duì)較小，小于1個(gè)數(shù)量級(jí)。許多先前的例子都需要大量的后期處理；它們的視場（FOV）被嚴(yán)重縮減或需要多個(gè)元素，而且往往很厚。計(jì)算增強(qiáng) DOF 也會(huì)受到噪聲放大和對(duì)采集信號(hào)信噪比的高度敏感性。表 S1總結(jié)了這一領(lǐng)域之前的相關(guān)工作。表 S1總結(jié)了這一領(lǐng)域之前的相關(guān)工作。超過衍射極限的最佳DOF增強(qiáng)值約為600，這是通過分形區(qū)板與衍射極限相結(jié)合實(shí)現(xiàn)的。在本文中，我們展示了通過適當(dāng)設(shè)計(jì)平面多級(jí)衍射透鏡 (MDL) 的設(shè)計(jì)，可以將DOF增加到衍射受限情況的 104倍以上。MDL的設(shè)計(jì)目的是在衍射極限的在 Ζ= fmin 到Ζ= fmax 的整個(gè)范圍內(nèi)聚焦。距離fmin和fmax分別是最小和最大值。分別為最小如

其中，z ε ( fmin, fmax) 和R是MDL的半徑。換句話說，正如衍射極限所預(yù)期的那樣，NA隨z變化。我們的MDL在Ζ= fmin =5mm時(shí)的NA最大為0.18。fmin - fmax =1.2m~λ*106 的范圍是新的DOF，與衍射極限情況相比，該N的最大DOF增強(qiáng)為((106*λ)/(λ/NA2))>3*104 ，這比之前演示的都要大很多個(gè)數(shù)量級(jí)。有了如此大的 DOF，就有可能從相機(jī)中移除對(duì)焦機(jī)構(gòu)，從而降低成本、重量和相關(guān)復(fù)雜性。

圖 1. (a) 顯示超深焦距（ExDOF）成像的多級(jí)衍射透鏡（MDL）示意圖。(b) MDL 的幾何形狀，焦距范圍為5~1200mm，光圈為1.8mm。(c)焦距為5~1200mm的MDL 在 y-z 平面上的模擬強(qiáng)度分布和(d)測量強(qiáng)度分布。工作波長為850 nm。

圖 2. (a) 制造的MDL的光學(xué)顯微照片，插圖顯示透鏡中心的放大視圖。  (b) 實(shí)測、模擬、和衍射極限半峰全寬（FWHM）與z的函數(shù)關(guān)系。(c-i)模擬和(j-p)測量的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（x軸和x軸的光強(qiáng)分布）。(x-y 平面上的光強(qiáng)分布）與z（距離 MDL）的函數(shù)關(guān)系。

設(shè)計(jì)

我們設(shè)計(jì)方法的靈感來自于我們最近對(duì)于強(qiáng)度成像的演示，焦平面上的相位可被視為自由參數(shù)。原則上，這將使理想透鏡問題的無解，可以根據(jù)其他要求，如消色差或增強(qiáng)DOF選擇所需的解決方案。通過只限制在較大焦距范圍內(nèi)聚焦強(qiáng)度，并允許焦距范圍內(nèi)的相位變化，我們可以通過以下方法解決非線性相反的問題。我們選擇省略對(duì)設(shè)計(jì)方法的深入討論，以使本文的信息足夠簡潔，從而突出這項(xiàng)工作的真正意義?？偟膩碚f我們通過選擇MDL各組成部分的高度分布，最大限度地提高M(jìn)DL的聚焦效率?？傊?，對(duì)于我們的極限焦深（ExDOF）MDL，聚焦效率被定義為直徑為3*FWHM的光斑內(nèi)的功率與入射功率之比，計(jì)算結(jié)果為所需聚焦范圍內(nèi)每個(gè)焦平面的功率。焦距范圍是指從 MDL 測得的距離范圍[圖1(a) 中的 fmax-fmin]。環(huán)高的選擇基于梯度下降定向二元搜索技術(shù)。該優(yōu)化程序與傳統(tǒng)的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分相結(jié)合，為光束傳播建模。在整個(gè)Z 范圍內(nèi)，利用基爾霍夫衍射積分來模擬從透鏡平面到觀測平面的光束傳播。假設(shè)有單位振幅的均勻光束照射到 MDL 上。MDL 對(duì)偏振不敏感，我們注意到這里的所有實(shí)驗(yàn)都是用非偏振光進(jìn)行的。我們設(shè)計(jì)、制造并鑒定了λ=0.85μm的 ExDOF MDL，其參數(shù)如下：fmin=5mm，fmax=1200mm，孔徑為1.8mm。限制設(shè)計(jì)為環(huán)寬3 米，最多100個(gè)數(shù)量級(jí)，最大高度為2.6μm。請注意，f#（NA）因焦距擴(kuò)展在2.78 (0.18) 和 555.56 (0.0009)之間而變化。衍射極限在此特定設(shè)計(jì)中，由λ/max(NA)2得出的衍射極限D(zhuǎn)OF為 26μm。因此，與衍射極限相比，DOF的增強(qiáng)值為

即 3.8104。這種增強(qiáng)效果比之前展示的任何效果都要高出幾個(gè)數(shù)量級(jí)，而且無需對(duì)圖像進(jìn)行后期處理。我們在此強(qiáng)調(diào)的是，我們確保單個(gè)平面 MDL 能夠跨越如此大的 NA 范圍，換句話說，這導(dǎo)致了成像中的 ExDOF，衍射極限決定了距離MDL較遠(yuǎn)的焦斑會(huì)更大。

結(jié)果與討論

在 x-z 平面上的光強(qiáng)分布中的光強(qiáng)分布進(jìn)行了模擬，并繪制了MDL的模擬圖見圖。從模擬結(jié)果中可以明顯看出，焦點(diǎn)的在整個(gè)主面所需的焦距范圍內(nèi)，焦點(diǎn)保持不變。觀察到MDL的FWHM在整個(gè)焦距范圍內(nèi)接近衍射極限。例如，在1200mm的距離上，F(xiàn)WHM為 524μm。相應(yīng)的測量結(jié)果如圖所示。在這種情況下，側(cè)面在所需的焦距范圍內(nèi)也得到了相當(dāng)好的抑制。例如貝塞爾光束，這對(duì)于成像極為重要。正色調(diào)光刻膠 S1813（微化學(xué)）的材料色散在設(shè)計(jì)和仿真中均被假定或模擬。然后使用灰度光刻技術(shù)制造出器件。請注意，由于我們的制造限制，我們的最大環(huán)高為2.6μm。圖 2(a)顯示了制作好的MDL 的光學(xué)顯微照片。

圖3。在不重新聚焦的情況下成像不同的物體距離。（a） 距離MDL不同距離u的物體的聚焦圖像在相同的圖像距離v處形成。（b）固定v和變化u的空軍分辨率圖的圖像。每行v的值是固定的，u的值記在每張圖像的括號(hào)中。（c） 對(duì)于從記錄圖像中提取的各種v值，放大率作為u的函數(shù)。在不重新聚焦的情況下以不同的圖像距離成像。

MDL 由超連續(xù)光源發(fā)出的準(zhǔn)直光束照射。配有可調(diào)濾光片，可調(diào)波長為850 nm，帶寬為15nm。帶寬為15  nm。點(diǎn)光源直接記錄在單色CMOS圖像傳感器上。將圖像傳感器放置在云臺(tái)上，在距離MDL不同距離處捕捉 PSF。然后，將這些圖像連接起來，創(chuàng)建x-z切片，如圖 1(d)所示。根據(jù)這些分布，我們通過實(shí)驗(yàn) 確認(rèn)入射光始終聚焦在所需的焦距范圍內(nèi)，即5-1200mm。我們還注意到實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果一致。從模擬和從模擬和測量的PSF中提取。然后作為z的函數(shù)繪制在圖  2(b) 中。將衍射極限FWHM 也繪制出來作比較。我們注意到這三幅圖之間存在極好的一致性。我們總結(jié)了模擬的和測量的值的PSF，分別是z（MDL與圖像傳感器之間的距離）為25、50、200、500、750、1000 和 1200mm。記錄的其他一些z值的PSF也如圖 S1 所示。實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果盡管我們認(rèn)為部分差異可歸因于預(yù)期的制造誤差。無論如何，MDL顯然能將入射光聚焦到其設(shè)計(jì)焦距的在其設(shè)計(jì)的焦距范圍內(nèi)，入射光接近衍射極限。我們還根據(jù)測得的PSF計(jì)算了聚焦效率和調(diào)制傳遞函數(shù)與z的函數(shù)關(guān)系，并在圖S2和圖S7中分別總結(jié)了這些數(shù)據(jù)。

圖4。（a）固定距離u處物體的聚焦圖像是在大范圍的圖像距離v處形成的。（b）固定u和變化v的空值分辨率圖的圖像。每行u的值是固定的，v的值記在每張圖像的括號(hào)中。（c） 對(duì)于從記錄的圖像中提取的各種u值，放大率作為v的函數(shù)。

對(duì)于固定焦距（f）的傳統(tǒng)鏡頭，物距（u）和像距（v）的關(guān)系式為物距（u）和像距（v）的關(guān)系式為 1/u+ /v=1/ f 。如果u或v中的任何一個(gè)發(fā)生變化，就必須調(diào)整另一個(gè)，以便獲取聚焦圖像。例如，如果物體靠近鏡頭則傳感器必須遠(yuǎn)離鏡頭（增加 v）。由于ExDOF鏡頭的焦距不是一個(gè)固定值，因此我們可以對(duì)不同距離的物體成像 (改變u），而不一定要移動(dòng)傳感器（固定  v）。在不同成像距離（改變 v）下對(duì)同一物體（固定 u）成像也是如此。為了說明這一概念，我們使用相同的CMOS圖像傳感器拍攝測試圖像。在每種情況下，都要調(diào)整曝光時(shí)間，以確保圖像不深。此外，我們還記錄了一個(gè)暗幀，并將其從圖像中減去。在所有實(shí)驗(yàn)中  我們記錄了空值分辨率目標(biāo)在兩種不同情況下的圖像。首先，我們保持MDL與圖像傳感器之間的距離 (v) 不變，并改變MDL與物體之間的距離 (u)，如圖 3(a) 所示。我們的想法是演示一種無需隨u變化而重新對(duì)焦的相機(jī)。記錄的MDL圖像如圖 3(b) 所示。每幅圖像的括號(hào)中均注明了u的值。我們注意到，MDL 能夠在u從50mm~1000mm的范圍內(nèi)形成聚焦圖像，而其聚焦效果沒有任何變化，即無需重新聚焦。根據(jù)記錄的圖像，我們可以計(jì)算出攝像機(jī)的放大倍率，并將其繪制成圖3(c)中MDL的u和v的函數(shù)圖。我們注意到，MDL可以在不改變圖像距離 (v)的情況下改變倍率。放大率是u的反函數(shù)，這也是基本的幾何光學(xué)原理所預(yù)期的。為了提高原始圖像的質(zhì)量，我們采用了標(biāo)準(zhǔn)的盲去卷積法（Blind deconvolution）來提高原始圖像的質(zhì)量。

圖5。對(duì)具有大景深的場景進(jìn)行成像。距離在200mm~6米之間的物體是焦點(diǎn)。圖中注明了每個(gè)物體與MDL（u）的距離。類似場景的視頻記錄包括可視化1和可視化2。

在下一組實(shí)驗(yàn)中，我們保持u不變，改變v，同時(shí)記錄圖像，如圖4(a)所示。這些實(shí)驗(yàn)表明，即使圖像距離 v 變化很大，物體圖像仍能保持對(duì)焦。記錄的圖像匯總?cè)鐖D4（b）所示。我們注意到，MDL能夠在v值為5~170 mm之間形成聚焦圖像，而u值沒有任何變化。在圖 4（c）中，我們提取了相應(yīng)的放大率，并繪制了放大率隨u變化的曲線圖，根據(jù)基本幾何光學(xué)原理，放大率是 v 的線性函數(shù)。為了進(jìn)行比較，我們還在圖3和圖4中重復(fù)了相同的實(shí)驗(yàn)。使用兩個(gè)不同的菲涅耳透鏡，焦距分別為100 mm和602.5 mm，直徑為1.8  mm（與MDL相同）。毫不奇怪，傳統(tǒng)的菲涅耳透鏡不能獲得像MDL這樣大的自由度。為了完整性，我們還將MDL的聚焦性能與相同直徑的孔徑的MDL聚焦性能進(jìn)行了比較。不出所料，光圈沒有聚焦能力。最后，為了展示MDL的成像潛力，我們對(duì)包含從200到5943  mm的大自由度物體的場景進(jìn)行了成像。傳統(tǒng)的鏡頭無法在如此大的自由度上保持所有物體的聚焦。然而，MDL能夠在所有物體都聚焦的情況下拍攝單個(gè)圖像。該該場景的圖像也是用傳統(tǒng)鏡頭拍攝的，強(qiáng)調(diào)其減少的DOF。

結(jié)論

DOF是透鏡的基本屬性。由于認(rèn)識(shí)到透鏡主要用于強(qiáng)度成像，我們可以將像面（或焦面）上的相位視為自由參數(shù)。因此，我們可以生成一個(gè)僅有相位的瞳孔函數(shù)，當(dāng)它印在光束上時(shí)，焦點(diǎn)可以在比傳統(tǒng)透鏡大幾個(gè)數(shù)量級(jí)的距離內(nèi)保持接近衍射極限。我們以一個(gè)瞳孔函數(shù)建模為多級(jí)衍射透鏡的例子，演示了從 5mm~1200mm的光束聚焦。此外，我們還對(duì)物體相距近 6m的場景進(jìn)行了成像，所有這些物體都在聚焦范圍內(nèi)。通過遵循這一設(shè)計(jì)理念，我們相信可以實(shí)現(xiàn)大帶寬、大DOF等全新類型的平面光學(xué)器件。最后，我們還要強(qiáng)調(diào)的是，我們光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)并不滿足弗勞恩霍夫（遠(yuǎn)場）近似值的要求，該近似要求 (D2/( fmax *λ)＜<1),  其中D表示MDL的孔徑。在我們的MDL中等于 3.17，因此我們的系統(tǒng)屬于菲涅爾衍射系統(tǒng)。

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